गणितको महŒव
गणनाको विधान हुँदैनथ्यो भने कति ठूला समस्याहरू उत्पन्न हुन्थे होलान् ? ती समस्याहरूलाई समाधान गर्न विश्वको सबैभन्दा प्राचीन लिपिबद्ध प्राप्त ज्ञान ऋग्वेदमा गणनाको विषयमा वर्णन गरिएको छ –
ॐ गणानान्त्वा गणपतिं हवामहे .. ऋग्वेद, २–२३–१ ।
यजुर्वेद २३–१९, तैत्तिरीय संहिता २–३–१४–३ ।
गणना शब्द आएको छ वेदमा । यसै सन्दर्भबाट गणितको विकासक्रमलाई बुझ्न सकिन्छ । गणित समस्त विज्ञानको मूल स्रोत हो । गणित नै सृष्टि रचनाको मूलमा छ । संसारका प्रत्येक वस्तु कुनै न कुनै नियमममा आबद्ध छन् । सृष्टिका प्रत्येक वस्तुमा गति छ । त्यो गतिलाई गणना गर्ने शास्त्र नै गणितशास्त्र हो । क्रमबद्ध ज्ञान गणितको विषय हो । क्रमबद्ध ज्ञानबाट नै गणितको गतिलाई बुझ्न सकिन्छ । सूर्यचन्द्र, नक्षत्र, ग्रह एवम् पृथिवीको गतिको ज्ञानद्वारा नै सूर्याेदय, सूर्यास्त, सूर्यग्रहण, चन्द्रग्रहण, भू–परिक्रमा आदिको ज्ञान हुन्छ । सम्पूर्ण ज्योतिषशास्त्र गणितमा आधारित छ । स्थान र समयको निर्धारण पनि गणितको आधारमा नै गरिन्छ । गतिको निरन्तरताको नाम समय हो । मूलभूत रूपमा चारप्रकारको गणनापद्धति रहेको छ । जोड्नु, घटाउनु, गुणन गर्नु र भागा गर्नु । यही मूल सिद्धान्त गणनाको आरम्भिक चरण हो । गणितद्वारा गतिको आँकलन गर्न सकिन्छ । गणितविज्ञान आधारशीला नै हो । त्यस्तै वेदाङ्ग ज्योतिषशास्त्रमा पनि गणितशास्त्रको बारेमा वर्णन गरिएको छ । जसरी मयुरको शिखा, नागको मणिको सर्वाेच्च स्थान छ, त्यस्तै गरेर गणितशास्त्र पनि महŒवपूर्ण छ । वेदांग ज्योतिषमा भनिएको छ ः
यथा शिखा मयूराणां नागाणां मणयो यथा ।
तद्वद् वेदांगशास्त्राणां गणितं मूर्धनि स्थितम् ।।
चराचर जगत्मा यस्तो कुनै वस्तु छैन, जसको मूलमा गणित नहोस् । गणितज्ञान विभिन्न शाखाहरूमा विभाजित छ ।
बहुभिर्विप्रलाभैः किं त्रैलोक्ये सचराचरे ।
यत् किञ्चिद् वस्तु तत्सर्वं गणितेन विना नहि ।।
धेरै प्रलाप गरेर कुनै लाभ छैन । यो सम्पूर्ण चराचर जगत्मा जति पनि वस्तु छन्, गणितविना कुनैको गति छैन । वेद छन्दको रचनामा मूल गणित छ । गायत्री (८.८ । त्रिपाद २४ वर्ण ।) अनुष्टुप् छन्द (८.८.८.८ चतुर्पाद, = ३२ वर्ण) त्रिष्टुप् छन्द (११.११.११.११=४४ वर्ण) जगती (१२.१२.१२.१२=४८ वर्ण)आदि विभिन्न छन्दहरूको विशिष्टताको सृष्टि भएको हो ।
गणितशास्त्रको उत्पत्ति
वेदहरूको अध्ययनबाट थाहा हुन्छ – वेदहरूमा गणितशास्त्रसँग सम्बद्ध पर्याप्त सामग्री उपलब्ध छन् । वेदहरूमा एक संख्यादेखि लिएर परार्ध संख्यासम्मको उल्लेख भएको छ । त्यसमा १० संख्याको महŒव, त्यसको गुणन, स्थानमान तथा भाग आदिको वर्णन गरिएको छ । यसको वर्णन यहाँ गरिन्छ ः
वेदमा गणित शब्दको उल्लेख त पाइँदैन । तर पनि यससँग सम्बन्धित अन्य शब्दहरू भने भेटिन्छन्, जसबाट ज्ञात हुन्छ – वेदमा गणनाको विधिको ज्ञान थियो । यजुर्वेद (३०.२०) र तैत्तिरीय ब्राह्मण (३.१४.१५)मा गणक (गणना गर्नेवाला, ज्योतिषी) शब्द मिल्छ । गणनासूचक गण, गणपति, गणश्रि, गण्य आदि शब्द ऋग्वेद र यजुर्वेदका धेरै मन्त्रहरूमा आएका छन् ।
ऋग्वेदमा ‘व्रातंव्रातम्, गणंगणम्’ शब्द गणनाको आधारमा गरिएको समूह अथवा वर्गका लागि हो । यसैगरी यजुर्वेद र अथर्ववेदमा निधि, निधिपति, निधिपा शब्द कोष (सम्पत्ति) र कोषागार (सम्पत्तिको रक्षा गर्ने व्यक्ति)को अध्यक्षका लागि जनाउन आएका छन् । यिनले कोषको गणना गर्थे । यजुर्वेदमा वित्तध शब्द पनि कोषागारको अध्यक्षका लागि नै प्रयुक्त भएका छन् । यजुर्वेदमा ज्योतिषीका लागि ‘नक्षत्रदर्श’ शब्द छ र गणितविद्या जान्ने भएका कारण उसको ज्ञानको प्रशंसा पनि गरिएको छ ।
छान्दोग्योपनिषद्मा गणितशास्त्रलाई ‘राशिविद्या’ र ज्योतिषलाई ‘नक्षत्रविद्या’का नामले चिनिन्छ । एक प्रसंगमा सनत्कुमारजीले सोधेपछि नारदजीले बताउनुभयो – मैले यी विद्याहरू पढेको छु । ती विद्याहरूमा नारदजीले चारै वेद, इतिहासपुराण, ब्रह्मविद्या आदिका साथै राशिविद्या र नक्षत्रविद्याको पनि उल्लेख गर्नुभएको छ । राशिविद्या शब्द अंकगणितका लागि हो र नक्षत्रविद्या ज्योतिषका लागि हो । यसबाट पनि थाहा हुन्छ – अध्यात्म अथवा पराविद्याको जिज्ञासुका लागि गणित र ज्योतिषको पनि ज्ञान अपेक्षित एवम् अनिवार्य हुन्छ ।
जैनहरूले पनि आफ्ना अनुयायीहरूका लागि गणितको ज्ञानमा बढी जोड दिएका छन् । त्यसैले, गणितानुयोग र संख्यानको महत्व दिइएको छ । बौद्धिष्टहरूले पनि गणना र संख्यानलाई प्रमुखता दिएका छन् । गौतम बुद्धले पनि बाल्यकालमा गणितको शिक्षा प्राप्त गर्नुभएको थियो । कौटिल्यको अर्थशास्त्रमा पनि लेखिएको छ – शिक्षा प्रारम्भ लिपि (वर्णमाला) र संख्यान (गणित)बाट नै हुनुपर्छ । हाथीगुम्फाको एक शिलालेख (१६३ वर्ष ईशापूर्व) मा लेखा (लेखन एवम् पठन), रूप (रेखागणित) र गणना (गणित)का उल्लेख गरिएको छ । वेदांगाहरूमा ज्योतिष एवम् गणितको महŒवको वर्णनबारे माथि नै उल्लेख गरिसकिएको छ ।
प्राचीन बौद्ध साहित्यमा तीन प्रकारका गणितको उल्लेख पाइन्छ ः
१) मुद्रा (औंलामा गन्ने), २) गणना (सामान्य गणित, मौखिक गणित), ३) संख्यान (उच्च गणित) । दीर्घनिकाय, विनयपिटक, दिव्यावदान र मिलिन्दपञ्हो ग्रन्थहरूमा यी तीनप्रकारका गणितको उल्लेख पाइन्छ । गणितको अर्थमा ‘संख्यान’ शब्दको प्रयोग विभिन्न ग्रन्थहरूमा पाइन्छ । प्राचीन गणितमा ज्योतिष पनि सम्मिलित थियो । क्षेत्रगणित अथवा ज्यातिमिको विवरण वेदांगको रूपमा प्रचलित ‘कल्पसूत्र’ एवम् ‘शुल्बसूत्र’हरूमा पाइन्छ । पछि ज्योतिष स्वतन्त्र विषयका रूपमा स्थापित भयो र क्षेत्रगणित अथवा ज्यामिति गणितका अंग भए । अगाडि गएर अज्ञात राशिसँग सम्बन्ध राख्ने बीजगणितका रूपमा परिचित भयो । यही पृथक्करण सर्वप्रथम ब्रह्मगुप्तले गरे । उनले ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त ग्रन्थमा बीजगणितसँग सम्बद्ध अध्यायलाई ‘कुट्टकाध्याय’ भनेका छन् । श्रीधर आचार्यले पाटीगणित र बीजगणितलाई पृथक् मानेका छन् र तिनमाथि छुट्टछुट्टै ग्रन्थको रचना गरेका छन् ।
अंकगणित अथवा पाटीगणित
गणितको सामान्य प्रश्न पाटी (तखता, पट्टा अथवा फल्याक)मा अथवा माटोमा अंक लेखेर गर्ने गरिन्थ्यो । त्यसैले, अंकगणितको नाम ‘पाटीगणित’ अथवा ‘धूलिकर्म’ बन्न गयो । अंकगणितमा संख्याहरू व्यक्त हुन्छन् । त्यसैले, त्यसलाई ‘व्यक्तगणित’ र संख्याहरू अव्यक्त हुने भएकाले बीजगणितलाई ‘अव्यक्तगणित’ पनि भनिन्छ ।
अंकगणितको विषय
गणितका विभिन्न कार्यहरूका लागि सामान्य रूपमा ‘परिकर्म’ ९ँगलमबmभलतब ियउभचबतष्यलक० शब्दको प्रयोग हुन्थ्यो । ब्रह्मगुप्तले ‘ब्रह्मस्फुट– सिद्धान्त’मा अंकगणितमा २० ओटा विषय र ८ ओटा व्यवहार सम्मिलित गरेका थिए । १) संकलित (जोड), २) व्यवकलित (घटाउनु), ३) गुणन (गुणन गर्नु), ४) भागहार (भाग दिनु), ५) वर्गा, ६) वर्गमूल, ७) घन, ८) घनमूल, ९–१३) पञ्चजाति (भिन्नका पाँच प्रकार), १४) त्रैराशिक आदि ।
भास्कराचार्यले लीलावतीमा अभिन्न–परिकर्माष्टक (पूर्णसंख्याहरूको ८ परिकर्म) र भिन्नपरिकर्माष्टक (अपूर्ण संख्याहरूको ८ परिकर्म) अंकगणितका विषय बताएका छन् ।
भास्कराचार्यले लीलावतीमा अभिन्न–परिकर्माष्टक (पूर्ण संख्याहरूको ८ परिकर्म) र भिन्न परिकर्माष्टक –अपूर्ण संख्याहरूको ८ परिकर्म) अंकगणितका विषय बताएका छन् । दुवैमा ८ परिकर्मका रूपमा व्यक्त भएका तŒव निम्न छन् ः
१) संकलन, सकलित (जोड्नु)
२) व्यवकलन, व्यवकलित (घटाउनु)
३) गुणन (गुणन गर्नु)
४) भागहार (भाग दिनु)
५) वर्ग
६) वर्गमूल
७) घन
८) घनमूल ।
तर, मुख्य रूपमा परिकर्म दुई मात्र छन् । प्राचीन गणितज्ञहरूका अनुसार गणितका सबै परिकर्म विशेषगरी दुई परिकर्म अर्थात् संकलित (जोड्नु) र व्यवकलित (घटाउनु)मा नै आश्रित छन् । यस विषयमा भास्कर प्रथमको भनाइ यसप्रकार रहेको छ ः
‘यो गणित यद्यपि चार प्रकारमा व्याप्त छ । मूल रूपमा यसका दुई प्रकार छन् । ती दुई प्रकार वृद्धि र ह्रास हुन् । अर्थात्, जोड्नु र घटाउनु नै हुन् । जोड्नु वृद्धि हो भने घटाउनु ह्रास हो । यिनै दुई भेदमा सम्पूर्ण गणित व्याप्त छ ।’
भनिएको पनि छ –
‘गुणन र गत (वर्ग)’ जोडका भेद हुन् । भाग र गतमूल (वर्गमूल) अन्तर (घटाउनु)का भेद भनिएको छ । यसैगरी सम्पूर्ण गणितशास्त्रलाई वृद्धि र ह्रास (जोड्नु र घटाउनु)मा नै व्याप्त देखेर यसका केवल दुई प्रकार मात्र मान्नुपर्छ ।
संख्यासूचक शब्द
यजुर्वेद, तैत्तिरीय संहिता, मैत्रायणी एवम् काठक संहिताहरूमा एकदेखि परार्धसम्म संख्याहरूको नाम पाइन्छ । यिनहरूमध्ये प्रत्येक अलग संख्या दश गुणा छन् । तिनीहरू यसप्रकार छन् ः
एक (१), दश (१०), शत (१००), सहस्र (१००), अयुत (हजार), नियुत (१ लाख), प्रयुत (१० लाख), अर्बुद (१ करोड), न्यर्बुद (१० करोड), समुद्र (१ अर्ब), मध्य (१० अर्ब), अन्त (१ खर्ब), परार्ध (१० खर्ब) । ऋग्वेदमा एक, दश, शत (१.२४.९), सहस्र (१.२४.९), अयुत (४.२६.७) सम्म नै संख्या शब्द पाइन्छन् । अथर्ववेद (८.८.७)मा शत, सहस्र, अयुत र न्यर्बुदसम्म संख्याहरू दिइएको छ (एका च दश च शतञ्च सहस्रञ्च, अयुतं च, प्रयुतं च, अर्बुदं च, न्यर्बुदं च, समुद्रश्च, मध्यं च, अन्तश्च, परार्धश्च ।) यसैगरी यजुर्वेदका सत्रौं अध्यायको दोस्रो मन्त्र एवम् तैत्तिरीयसंहिताको ४.४.११, ७. २. २० र मैत्रायणी संहिताको २.८.१४ मा पनि अंकको विषयमा व्याख्या पाइन्छ ।
पञ्चविंश ब्राह्मणमा पनि न्यर्बुदसम्मको यजुर्वेदकै संख्याको वर्णन पाइन्छ । निखर्ब, वाडव, अक्षिति आदि नाम छन् । सांख्यायन श्रौतसूत्रमा न्यर्बुदसम्म गणना भएको छ । सांख्याश्रौत्र १५.११.४ मा पनि यससम्बन्धी वर्णन छ । दशगुणोत्तर संज्ञाः भनिएको छ ।
संख्याको स्थानिक मान ९ल्यतबतष्यलब िउबिअभक०
क्रमशः स्थानमानको भावना विकास भएको छ । दशमपद्धति लेखिने क्रम वैदिक परम्पराअनुसार हिमवत्खण्ड नेपालमा विशेष प्रकारका आविष्कार भएको हो । आर्यभन्ज्याङमा जन्मिएका आर्यभट्टले गणितशास्त्रको सम्बन्धमा र अन्य महर्षिहरूले पनि गणितशास्त्रका विषद् ग्रन्थहरूको वर्णन गरेका छन् । कुनै पनि संख्यालाई दश गुणित गर्ने क्रम आर्यपरम्पराको हो । एक, दश, सय, हजार, दशहजार, लाख, दशलाख, करोड, दशकरोड, अर्बुद, दशअर्बुद, खर्ब, दशखर्ब, नील, दशनील, पद्म, दशपद्म, शंख, दशशंख । यसरी यो क्रम नेपाली भूमिमा अंकको विकास भएको बुझ्न सकिन्छ ।
यजुर्वेदको सत्रौं अध्यायको दोस्रो मन्त्रको १८ संख्यासम्म अंकको वर्णन गरिएको छ । अठार संज्ञाको सन्दर्भ लीलावती आदि ग्रन्थहरूमा पनि पाइन्छ । भास्कराचार्यको लीलावतीमा यसप्रकार वर्णन गरिएको छ ः
एकदशशतसहस्रायुत–लक्ष–प्रयुतकोटयः क्रमशः ।
अर्बुदमब्जंखर्बनिखर्बमहापद्मशंखवस्तस्मात् ।।
जलाधिश्चान्त्यं मध्यं परार्धमिति दशगुणोत्तर संज्ञाः ।।
एवम् एकाद्यष्टादशसंख्यासंज्ञासंहिता इष्टकाः ।।
महीधरभाष्य, यजु० १७.२ ।
संख्याको गणना बिन्दुबाट आरम्भ हुन्छ । बिन्दुको विस्तार शून्य हो । शून्यदेखि एक, दुई हुँदै अठार संख्यासम्म पुग्दा अष्टादश संख्या हुन्छ । त्यसलाई परार्ध भनिन्छ ।
(.) बिन्दु
(०) शून्य
एक (१)
दश (१०)
शत (१००)
सहस्र (१०००)
अयुत (१० हजार)
नियुत (लक्ष) (१ लाख)
प्रयुत (१० लाख)
कोटि (१ करोड)
अर्बुद (१० करोड)
न्यर्बुद (अब्ज) (१ अर्ब)
खर्ब (१० अर्ब)
निखर्ब (१ खर्ब)
महापद्म (१० खर्ब) (महासरोज)
शंकु (१ नील)
समुद्र (जलधि) (१० नील)
मध्य (१०० नील) (अन्त्य)
अन्त (अन्त्य) (१हजार नील) (मध्य)
परार्ध (१० हजार नील)
संख्यावाचक शब्दहरूको आधार १० संख्या
उल्लिखित विवरणबाट पनि थाहा हुन्छ कि वैदिक संख्यापद्धतिको आधार १० अंक रहेका छन् । त्यसैले, दश, शत, सहस्र आदि संख्याहरूको ‘दशगुणाः संज्ञाः’ अथवा ‘दशगुणोत्तरं सज्ञाः’ भनिएको हो । दशदेखि परार्धसम्मका संज्ञाहरू क्रमशः दशगुणा हुँदै चल्दछन् ।
संख्याशब्द समस्य एवम् असमस्त
एकदेखि दशसम्मको संख्यामा कुनै समास छैन । यसबाट अगाडिका संख्याहरू समस्त भएका छन् । जस्तै, असमस्त शब्दहरू एक, द्वि, त्रि, चतुर, पञ्च, षट्, सप्त, अष्ट, नव एवम् दश । त्यसैगरी समस्त शब्द – एकादश (१+११), द्वादश (२+१०), त्रयोदश (३+१०) आदि । यसैगरी ११ देखि १९ सम्मका संख्याहरू समस्य (समासयुक्त) छन् । शत, सहस्र, अयुत आदि शब्द असमस्त (समासरहित) छन् ।
संख्याशब्दहरूको विभिन्न प्रकारले उल्लेख
(क) विषम संख्याहरू ः १ देखि ३३ सम्म ः यजुर्वेदको एक मन्त्रमा १ देखि ३३ सम्म केवल विषम संख्याहरू दिइएको छ (एका, तिस्रः, पञ्च, सप्त, नव, एकादश, त्रयोदश, पञ्चदश, सप्तदश…एकविंशति, त्रयोविंशति….एकत्रिंशत्, त्रयस्त्रिंशत्, यजु० १८.२५)
ख) सम संख्याहरू ४ देखि ४८ सम्म ः यजुर्वेदको एउटा मन्त्रमा ४ देखि ४८ सम्म सम संख्याहरू दिइएको छ (चतस्रः, अष्टौ, द्वादश, षोडश, विंशति, चतुर्विंशतिः, अष्टाविंशतिः..चत्वारिंशत्, चतुश्चत्वारिंशत्, अष्टाचत्वारिंशत् । यजु० १८.२५ ।
ग) संख्याहरू १ देखि २०० सम्म संक्षेपमा ः तैत्तिरीय संहिताको एक मन्त्रमा १ देखि १०० सम्मका संख्यापछि २०० सम्मका संख्याहरू संक्षेपमा यसप्रकार दिइएको छ । क) १ देखि १९ सम्म पूरै संख्या – १, २, ३, ४, ५, ६, ७, ८, ९, १०, ११, १२, १३, १४, १५, १६, १७, १८ र १९ । ख) यसपछि केवल ९ अंक भएका संख्याहरू ९९ सम्म । २९, ३९, ४९, ५९, ६९, ७९, ८९, ९९ । ग) पुः १०० देखि २०० सम्म । यसकार १ देखि २०० सम्मका संख्याहरू सम्झाइएको छ । यसपछि १० ओटा मन्त्रको अन्तिममा ‘सर्वस्मै स्वाहा ।’ भनिएको छ । यसको अभिप्राय यो हो कि यसैगरी अगाडिका संख्याहरू पनि बनाउँदै जानुपर्छ ।
घ) २ को गुणा २० सम्म ः तैत्तिरीयसंहिताको एउटा मन्त्रमा २ लाई गुणा गर्दै २० सम्म दिइएको छ (द्वाभ्याम्, चतुभ्र्यः, षड्भ्यः, ..षोडशभ्यः, अष्टादशाभ्यः, विंशत्यै० । (तैत्तिरीयसंहिता ७.१.१३)
ङ) ४ र ५ लाई गुणा गर्दै २० सम्म ः तैत्तिरीय संहिताको एक मन्त्रमा २० सम्म यसप्रकार उल्लेख गरिएको छ (चतुर्, अष्ट, द्वादश, षोडश, विंशति । तैत्तिरीयसंहिता ७.२.१५) यसैगरी (पञ्च, दश, पञ्चदश, विंशित । तैत्तिरीय संहिता ७.२.१६) । यसैगरी वेदहरूमा १० देखि १००, २० देखि १०० र १०० देखि १००० सम्मका गुणा पनि वेदहरूमा प्रशस्त मात्रामा पाइन्छ ।
१० संख्याका लागि ‘ति’ प्रत्यय लगाउनु
दश संख्याका लागि ति प्रत्यय लगाउनुलाई भाषाविज्ञानका दृष्टिले अत्यन्त महत्वपूर्ण मानिन्छ । १० का लागि ति प्रत्ययको प्रयोग अंग्रेजीमा पनि हुन्छ । यसको अर्थ यो हो – दशगुणा । अंग्रेजीमा यो त्भल (१०) को संक्षिप्त रूप त्थ हो । यसबाट हामीले बुझ्न सक्छौं – अंग्रेजी र संस्कृत भाषाको उद्गमस्थल एउटै हो । भाषाविज्ञानमा यसलाई भारोपेली भाषा ९क्ष्लमय(भ्गचयउभबल ीबलनगबनभ० भनिन्छ । जस्तै,
संख्या संस्कृत अंग्रेजी
६९ षष्टि (षष्+ति) क्ष्हतथ ९क्ष्हंतथ०
७० सप्तति (सप्त+ति) क्भखभलतथ ९क्भखभलंतथ०
८० अशीति (अष्ट+ति) भ्ष्नजतथ ९भ्ष्नजतंतथ०
९० नवति (नव+ति) ल्ष्लभतथ ९ल्ष्लभंतथ०
९ अंकका लागि आरोहअवरोहको ज्ञान
वेदहरूमा १९, २९, ३९ आदि संख्याहरूमा ९ अंकका लागि आरोह र अवरोह दुवै क्रम अपनाइएको छ । आरोह क्रमको अभिप्राय संख्याको अगाडि बढ्दै जानु हो । यस्तै अवरोह क्रमको अभिप्राय अघिल्लो संख्या दिएर पछितिर फर्किनु हो । नेपालीमा १९, २९, ३९ आदि गणनामा अवरोहक्रम अपनाइएको छ । जस्तै, २९ का लागि (उन–तीन, तीसमा एक कम), यसैगरी ६९ का लागि (उन–सत्तरी, सत्तरीमा एक कम), ७९ का लागि (उन–असी, असीमा एक कम) । नेपालीमा यस किसिमको विधि वैदिक विधिबाट लिइएको हो । चारै वेदमा १९, २९ आदिका लागि आरोह एवम् अवरोह क्रम दुवै अपनाइएको छ । जस्तै, १०+९=१९, ६०+९=६९, ८०+९=८९ । अर्काेतर्फ १९, २९ आदिमा ‘एक कम’को अर्थमा ‘एकोन’ ‘एकान्न’ एवम् केवल ‘उन’ (ऊन=न्यून अर्थात् थोरै) शब्दहरूको प्रयोग पाइन्छ । एकोनविंशति भनिएको छ ।
आरोह क्रमको उदाहरण
यजुर्वेद र तैत्तिरीयसंहितामा प्रशस्त शब्दहरू मिल्छन् । नवदश (१९), नवविंशति (२९), नवचत्वारिंशत् (४९), नवषष्टि (६९), नवशीति (८९), नवनवती (९९, ऋग्वेद, १.८४.१३) यस्ता अंक जनाउने शब्दहरू पर्याप्त पाइन्छन् ।
आरोह क्रमको उदाहरण
अथर्ववेद र तैत्तिरीयसंहितामा ‘एकोन’ ‘एकान्न’ शब्दहरूको प्रयोग भेटिन्छ । अथर्ववेदमा एकोनविंशति, उन्नाइस (१९, एक कम बीस) प्रयोग भेटिन्छ । एकत्रिंशत्, एकोनचत्वारिंशत्, एकोनपञ्चाशत्, एकान्नाशीति, एकान्नशत् आदि शब्दहरू प्रशस्त उपलब्ध छन्, जसले गणितशास्त्रको व्यापकतालाई जनाउँदछन् ।
अवरोह क्रममा दशमांश अथवा दश गुणा कम
यस विषयको चर्चा ऋग्वेदमा पाइन्छ । ऋग्वेदमा सुन्दर उक्तिहरू प्रशस्तै छन् । त्वं सहस्राणि शतादश । (ऋग्वेद २.१.८) । गणनापद्धतिको विषयमा वैदिक वाङ्मयमा प्रशस्त चर्चा गरिएको छ । दशगुणोत्तर, सहस्र (हजार), शत (१००), दश (१०), हजारको दशौं कम भाग १००, १०० को दशौं कम भाग १० यसरी मन्त्रहरू रहेका छन् ।
दशमपद्धतिको उल्लेख
अथर्ववेदको प्रथम सूक्तको एघारौं मन्त्रमा एकदेखि लिएर हजारसम्मका संख्याको दशमपद्धति दिइएको छ । एकाचमे दशचमे, द्वेविंशति, त्रिंशच्चमे, दशम्, शतम्, सहस्रम् । (अथर्ववेद ५.१५ देखि ५.११ औं सूक्तसम्म) । गणनाकै विषयमा यस्ता मन्त्रहरू पाइन्छन् । (१ को १०. २ को २०, ३ को ३०, ४ को ४०, ५ को ५०, ६ को ६०, ७ को ७०, ८ को ८० र ९ को ९०, १० को १००, १०० को १००० आदि ।) गणनाको यस्तो भाव यजुर्वेदमा पनि पाइन्छ ।
जोड्नु (+)
एकादश (एक र दश), द्वादश (दुई र दश), एकाशीति (एक र असी), नवनवती (९९)
घटाउनु (–)
एकोनविंशति (२० मा एक कम), एकोनषष्टि (साठीमा एक कम), एकोनशत (सयमा एक कम), गुणन
द्वि. पञ्च (२×५=१०) (द्विर्यत्पञ्च, ऋग्वेद १.१२२.१३), द्विर्दश (२×१०=२०) (अथर्ववेद २०, २१.९), त्रिषप्त त्रिःसप्त (७×३=२१) (ऋग्वेद, ९.७०.१) । त्रिणवः (३×९=२७), षडशीति (६×८०=४८०) (अथर्ववेद, ११.३.२९) ।
संख्या बढाएर लेख्ने क्रम
साठी हजार (६०,०००) लेख्नुपर्दा षष्टिसहस्रम् । यसैगरी साठी हजार उनान्सय (६०९९००) लेख्दा षष्टिसहस्रानवतीनव (अथर्ववेद, २०.२१.९) । त्यस्तै, चत्वारि अयुता अष्टासहस्रा (चार अयुत र आठ हजार) एक अयुतबराबर १० हजार अर्थ हुन्छ । चार गुणा १० हजारबराबर ४० हजार जोड ८ हजार बराबर ४८ हजार । यसरी पारिभाषिक शब्दहरूको भेटिन्छ । (ऋग्वेद ८.२.४१) ।
अथर्ववेदमा एक युगको मान ४ अर्ब ३२ करोड वर्ष बताइएको छ । त्यसलाई लेख्ने प्रक्रिया शत (१००) अयुत (१०,०००)+४३२ आदिमा जोड्ने । अयुत × १०० – १०,००० = १०, ००,००० । प्रारम्भमा ४३२ जोड्ने । यति ४ लाख ३२ हजार वर्ष एउटा युगको परिमाण हो । (शतं तेऽयुतं हायनान् द्वे युगे त्रिणी चत्वारि कृण्मः (अथर्ववेद ८.२.२१) । यजुर्वेदमा संख्याको सन्दर्भमा प्रशस्त जानकारी पाइन्छ । एकदेखि ४८ सम्म सांख्य शब्दहरूको बारेमा वर्णन गरिएको छ । एउटा मन्त्रमा एकदेखि १२ सम्म संख्या शब्द (सविता प्रथमेऽहनि, द्वितीये, तृतीये…द्वादशे (यजुर्वेद ३९.६) वर्णन गरिएको छ । त्रयोदश, चतुर्दश, पञ्चदश, षोडश, सप्तदश (यजुर्वेद ९.३४) यी मन्त्रहरूले त्रयोदश (१३), चतुर्दश (१४), पञ्चदश (१५), षोडश (१६), सप्तदश (१७) गणनापद्धतिहरू रहेका छन् । ऋग्वेद, यजुर्वेद, अथर्ववेद आदि ग्रन्थहरूमा गणनाको बारेमा प्रशस्तै मन्त्रहरू पाइन्छन् ।
वेदमा संख्याबोधक केही अन्य शब्द
वेदमा केही यस्ता शब्दहरू पनि पाइन्छन्, जो एक, दुई आदिजस्तै संख्याबोध नगराएर विभिन्न संख्याहरूका विषयमा जानकारी दिन्छन् । यी संख्याबोधक शब्दले संख्यावाचक शब्दजस्तै भूमिका निर्वाह गर्छन् । जस्तै, संस्कृतमा इयत् (यति), तावत् (त्यति) कति (कति), उभ, उभय (दुवै) आदि शब्द पाइन्छन् । वेदमा प्रयोग भएको केही यस्ता शब्दहरू निम्नानुसार दिन सकिन्छ ।
१) अन्य ः यसले कुनै दोस्रो अर्थलाई बताउँछ । जस्तै, तयोरन्यः पिप्पलम्० (ऋग्वेद १.१६४.२०) मा अन्य शब्दको अर्थ ‘ती दुईमा एउटा’ भन्ने हो ।
२) उभ, उभय ः यी शब्दले दुवै भन्ने अर्थ बुझाउँछन् । जस्तै,
३) असंख्येय, असंख्यात (असंख्याता रुद्राः रुद्र असंख्य छन्, अगणित छन्) ।
पारिभाषिक शब्द
अथर्ववेदमा पारिभाषिक शब्द पनि पाइन्छन् । एकर्च (एक ऋचा भएको सूक्त), त्रिच (तीन ऋचा भएको सूक्त), क्षुद्र (छोटो, थोरै), उपोत्तमः (अन्तिमभन्दा पहिलो अक्षर), महागण (अन्तिम योगभन्दा पहिलो), आदि ।
शब्दांक प्रणाली
वैदिककालमा अंकलेखनलाई महत्वपूर्ण शब्दद्वारा जनाउने विधान गरिएको थियो । यसअन्तर्गत शून्य (खं ब्रह्म) शून्यलाई ख अर्थात् आकाश भनेर चिनाइन्थ्यो । ब्रह्म शब्दजस्तै सर्वव्यापक छन् । ऋग्वेदको एक मन्त्रमा द्वादश अर्थात् बाह्र महिना भएको वर्ष भनिएको छ । (देवहितिं जगुपुद्र्वादशस्य ऋग्वेद ७.१०३.९) । यसैगरी सूर्यको किरणलाई सप्तरश्मि भनिएको छ । त्रिशप्त पनि भनिएको छ ।
अंक बायाँबाट लेख्ने विधान
अंक लेख्दाखेरि वैदिक ज्योतिषशास्त्र र आधुनिक समयमा पनि देब्रेबाट लेख्ने विधान गरिएको छ । अंकानां वामतो गतिः अंकलाई एक सामान्य नियम छ, बायाँतर्फबाट लेख्ने । अग्निपुराणमा पनि यस विषयमा चर्चा गरिएको पाइन्छ । ख–ख–अष्ट–मुनि–राम–अश्वि–नेत्र–अष्ट–सर–रात्रिपाः । यसको अर्थ हुन्छ (दुईओटा शून्य), अष्ट (आठ), मुनि (सात) राम (तीन), अश्विन् (दुई), नेत्र (दुई) अष्ट (आठ), शर (पाँच), रात्रिपः (एक) । यसप्रकार युद्धमा मर्नेहरूको संख्या महाभारतमा ६६ करोडसम्म बताइएको छ ।
दशमलव लेख्ने विधान
विन्दु (.) खं (०), एकम् (१), द्वे (२), त्रिणी (३), चत्वारि (४), पञ्च (५), षट् (६), सप्त (७), अष्ट (८), नव (९) आदि ।
अंकका लागि प्रयुक्त शब्द
अंक संकेत दिने शब्दहरू
० – शून्य, ख, गगन, अम्बर, अनन्त, वियत् ।
१ – चन्द्र, विदु, सोम, अब्ज, भू, धरा, गो, रूप, तनु ।
२ – यम, अश्विन्, नेत्र, अक्षि, कर्ण, कर, पक्ष, अयन, युगल
३ – राम, गुण, भुवन, काल, अग्नि, त्रिनेत्र, लोक, पुर ।
४ – वेद, श्रुति, सागर, वर्ण, आश्रम, युग, तुरीय, कृत, अय, दिश ।
५ – वाण, शर, भूत, प्राण, तत्व, इन्द्रिय, विषय ।
६ – रस, अंग, ऋतु, दर्शन, अरि, तर्क, कारक, षण्मुख ।
७ – नग, अग, पर्वत, ऋषि, मुनि, वार, स्वर, छन्द, द्वीप, धातु, अश्व ।
८ – वसु, अहि, नाग, गज, सर्प, सिद्धि, भूति, अनुष्टुप् ।
९ – अंक, नन्द, निधि, ग्रह, रन्ध्र, छिद्र, द्वार ।
१० – दिश, दिशा, अंगुली, पंक्ति, ककु ।
११ – रुद्र, ईश्वर, हर, ईश, भव, महादेव ।
१२ – रवि, सूर्य, अर्क, मास, राशि, व्यय, भानु, दिवाकर ।
१३ – विश्व, काम, अतिजगती ।
१४ – विद्या, मन, इन्द्र, लोक, चक्र ।
१५ – तिथि, दिन, अहन् ।
१६ – नृप, भूप, भूपति, अष्टि, कला ।
१७ – अत्यष्टि ।
१८ – धृति, पुराण ।
१९ – अतिधृति ।
२० – नख, कृति ।
२१ – उत्कृति, स्वर्ग, प्रकृति ।
२२ – आकृति ।
२३ – विकृति ।
२४ – गायत्री, जिन, अर्हत्, सिद्ध ।
२७ – नक्षत्र, उडु, भ ।
३३ – देव, अमर, सुर, त्रिदश ।
४९ – तान ।
३२ – दन्त ।
वर्गमूल ९क्त्रगबचभ, क्त्रगबचभ(चययत०
वेदमा स्पष्ट रूपमा वर्ग, वर्गमूल, घन र घनमूलको उल्लेख गरिएको छैन । केही सांकेतिक रूपमा मात्र प्रयोग गरिएको छ । घन र घनमूलको प्रत्यक्ष अथवा अप्रत्यक्ष रूपमा संकेत पाइँदैन । आर्यभट, भास्कर आदिका ग्रन्थहरूमा ‘कृति’ शब्दको प्रयोग भएको छ ।
वर्ग निकाल्ने विधि
जुन संख्याको वर्ग निकाल्ने हो, त्यसका लागि त्यति नै विषम संख्या लिनुपर्छ । जस्तै, १ का लागि केवल १ विषम संख्या, २ का लागि २ विषम संख्या, ३ का लागि ३ विषम संख्या, १० का लागि १० विषम संख्या । जस्तै, १ देखि १० सम्मको वर्गका लागि १० सम्मका विषम संख्याहरू लिएर तिनलाई जोड्नुपर्छ । त्यसपछि त्यही वर्गको संख्या हुन्छ ।
१) १ + १ = १
२) २ + ३ = ४ (२ को वर्ग) २२
३) १ + ३ + ५ = ९ (३ को वर्ग) ३२
४) १ + ३ + ५ + ७ = १६ (४ को वर्ग) ४२
५) १ + ३ + ५ + ७ + ९ = २५ (५ का वर्ग) ५२
६) १ + ३ + ५ + ७ + ९ + ११ = ३६ (६ को वर्ग) ६२
७) १ + ३ + ५ + ७ + ९ + ११ + १३ = ४९ (७ को वर्ग) ७२
८) १ + ३ + ५ + ७ + ९ + ११ + १३ + १५ = ६४ (८ को वर्ग) ८२
९) १ + ३ + ५ + ७ + ९ + ११ + १३ + १५ + १७ = ८१ (९ का वर्ग) ९२
१०) १ + ३ + ५ + ७ + ९ + ११ + १३ + १५ + १७ + १९ = १०० (१० का वर्ग) १०२
यसप्रकार १ देखि ३३ सम्म १७ विषम संख्याहरूको जोड २८९ हुन्छ । यो १७ संख्याको वर्ग हो । श्रीधर, महावीर, भास्कर द्वितीय आदिले पनि यस विधिबारे प्रशस्त मात्रामा उल्लेख गरेका छन् ।
शून्य के हो ?
शून्य वस्तु विश्वकै लागि एउटा रहस्य हो । यसको तात्विक विवेचन आजसम्म कसैले पनि गर्न सकेको छैन । तर्कपूर्ण विवेचनाबाट शून्यलाई सिद्ध गर्न अत्यन्त जटिल छ । सृष्टिको आदि पनि शून्यबाट र विलय पनि शून्यमै हुन्छ । यति महान्, महत्वपूर्ण, रहस्यात्मक विषयको ज्ञान प्राप्त गर्ने महर्षिहरूले खं ब्रह्म भनेर शून्यलाई प्रतिपादन गरे । यसको अर्थ आकाशजस्तै अनन्त ब्रह्माण्ड भन्ने हुन्छ । अणुलाई बुझाउने विन्दुको विस्तार शून्य हो । शून्यको विस्तार अनन्त हो । अनन्त नै अनन्त मिलेर महाअनन्त निर्माण हुन्छ । यजुर्वेदमा खं ब्रह्म भनेर व्याख्या गरिएको छ । आकाश, इन्द्रिय, अन्तरिक्ष, देवलोक आदि परिभाषा भिन्नभिन्न छ ।
बीजगणित
जहाँ अंकको सहायताविना संकेताक्षर अथवा वर्णहरूद्वारा गणितको कार्य सम्पादन गर्न सकिन्छ
त्यसलाई नै बीजगणित भनिन्छ । युजुर्वेद, ऐतरेय ब्राह्मण आदि ग्रन्थमा बीजगणितबारेका केही संकेताक्षर प्रयोग भएको पाइन्छ । यद्यपि, त्यहाँ गणितीय दृष्टिकोणले ती संकेतहरूको प्रयोग भएको भने होइन । जस्तै,
ख = शून्य अथवा आकाश (खं ब्रह्म० यजु० ४०.१७)
क = प्रजापति अथवा ईश्वर (प्रजापतिर्वै कः, ऐत०ब्रा० २.३८)
ज्यामिती÷रेखागणित
वेदमा रेखागणितसम्बन्धी सामग्री सूत्ररूपमा पाइन्छन् । तिनको विस्तृत व्याख्या पछि गरिएको छ । त्यहाँ वेदमा जुन सामग्री पाइन्छ, त्यसको संक्षिप्त रूपरेखा दिइएको छ । ऋग्वेदका केही मन्त्रमा रेखागणितसम्बन्धी पारिभाषिक शब्द पाइन्छन् । यज्ञवेदीको चर्चा गर्ने क्रममा ऋग्वेदमा प्रश्न गरिएको छ, यसको नाप के हो ?, यसको रूपरेखा कस्तो थियो, यसको परिधि के थियो ? आदि ।
कासीत् प्रमा प्रतिमा किं निदानम्, आज्यं किमासीत् परिधिः कः आसीत् ।
छन्दः किमासीत् प्रउगं किमुक्थं यद् देवा देवमयजन्त विश्वे ।। (ऋग्वेद १०.१३०.३)
उपर्युक्त मन्त्रमा रेखागणितसँग सम्बन्धित यस्ता शब्द प्रयोग भएका छन् ः
प्रमा – नाप, परिमाण
प्रतिमा – नक्सा, रूपरेखा
निदानम् – कारण, मूल सिद्धान्त
परिधि – घेरा
छन्द – नापका लागि चाहिने साधन, डोरी आदि ।
ऋग्वेदको एउटा मन्त्रमा वृत्तबारे केही जानकारी दिइएको छ ः
चतुर्भिः साकं नवतिं च नामभिः
चक्रं न वृत्तं व्यतींरवीविपत् । (ऋग्० १.१५५.६)
उपर्युक्त मन्त्रानुसार एउटा वृत्तमा ४ × ९०= ३६० अंश हुन्छन् । सम्पूर्ण वृत्तको मान ३६० अंश हुँदा खगोलीय अवस्थाको गणना गर्न सहज हुन्छ । भूगोललाई पनि चार भागमा विभाजन गरिन्छ । ९०+९०+९०+९०=३६० अंशको वृत्त हुन्छ । यही आधारमा गणना गर्न सकिन्छ । ऋग्वेदमा प्रस्ट रूपमा वर्णन गरिएको छ, पृथ्वीको गोलाकार अवस्थालाई नाभिकेन्द्रबाट चार भागमा विभाजित गरी बृहच्चक्र वृत्तलाई गणना गर्ने विधान ऋग्वेदमै वर्णन गरिएको छ ।
द्वादश प्रधयश्चक्रमेकं त्रीणि नभ्यानि क उ तच्चिकेत ।
तस्मिन् साकं त्रिशता न शंकवो अर्पिताः षष्टिर्न चलाचलासः ।। (ऋग्० १.१६४.४८, अथर्व० १०.८.४)
वर्षचक्रको वर्णन गर्दै द्वादश चक्रको विधान गरिएको छ । पारिभाषिक शब्दहरू पाइन्छन् । एक चक्र पूरा हुन बाह्र राशि उपस्थित हुन्छन् । तीनतीन खण्डको चार भागले बाह्र भाग बन्दछ । बाह्र प्रभाग बन्दछन् । प्रत्येक बाह्र प्रभागभित्र ३०–३० अंश हुन्छ । ३० अंशको १ राशि बन्दछ । १ राशिबराबर बाह्र अंश, बाह्र गुणा ३० गर्दा ३६० अंश पुग्दछ । अंश प्रत्येक राशिको प्रभागभित्र रहेको छ । पूरै चक्रलाई चारओटा केन्द्रमा विभाजित गरी ९० अंशका चार केन्द्र, बाह्र राशिका बाह्र केन्द्र, ३० अंशको प्रभाग बन्दछ । पूरै चक्रलाई ३६० अंशमा विभाजित गरिएको छ । सम्पूर्ण खगोलशास्त्रको अन्वेषणका लागि वेदमा गणितीय ज्ञान रहेको छ ।
सूर्यको किरण ज्ञान
तिरश्चीनो विततो रश्मिरेषाम्
अधः स्विदासीद् उपरि स्विदासीत् । (यजु० ३३.७४)
वेदमा सूर्यको किरणको वर्णन गरिएको छ । सूर्यका किरणहरू तेर्साे गतिमा आउँछन् । तल आएर फैलिन्छन् । माथितिर फर्की फैलिन्छन् । तेर्साे गतिमा प्रकाशित हुन्छन् । यसप्रकार त्रिभुजका तीन भुजा हुन्छन् । यसमा तल एउटा रेखा र दुवैतिर तेर्साे किसिमका रेखा हुन्छन् । यसप्रकार त्यही त्रिकोणबाट विभिन्न आकृतिमा विस्तार गरिन्छ । जस्तै श्रीयन्त्र

यज्ञवेदी र रेखागणित
ऋग्वेद एवम् तैत्तिरीयसंहितामा अग्निलाई तीन स्थानमा स्थापित गरिएको छ । (अग्ने…त्रिषधस्थ ५.४.८, अग्निं नरः त्रिषस्थे समिन्धते । तैत्तिरीयसंहिता ४.४.४.३) । अग्निको स्वरूपको वर्णन वैदिक वाङ्मयमा प्रशस्त पाइन्छ । ऋग्वेदको पहिलो मन्त्र नै अग्निशब्दबाट आरम्भ हुन्छ । अग्निमीडे… (ऋग्० १.१.१) । त्यसकारण ऊर्जा र अग्निको आदिमभूमि नेपाल नै हो । यो भूगोलमा आगोको पत्ता लागेको वैदिक ग्रन्थ ऋग्वेदबाट निश्चित हुन्छ । तसर्थ, वैदिक ग्रन्थहरूमा अग्निलाई पनि तीन भागमा विभाजन गरिएको छ ।
क) गार्हपत्य
ख) आहवनीय
ग) दाक्षिणात्य
शतपथब्राह्मणग्रन्थहरूमा आकारकावे बारेमा वर्णन गरिएको छ । गार्हपत्य अग्निवेदी मण्डलाकार हुन्छ ।

वेदी राख्ने

आहवनीय अग्नि चतुर्भुजाकार हुन्छ ।
दाक्षिणत्य अग्नि अर्धवृत्ताकार अर्थात् अर्धचन्द्राकार हुन्छ । यसका लागि क्षेत्रफल बराबर हुनु आवश्यक छ । एक व्याममा ९६ अंगुल अथवा चार हात हुन्छ । चार हात बराबर चार हात वेदी निर्माण हुन्छ । वेदी बनाउन रेखागणितको ज्ञान अत्यावश्यक छ । जसलाई वृत्त, चतुर्भुज, अर्धवृत्ताकार, अर्धचन्द्राकार बनाउन रेखागणितीय ज्ञान आवश्यक देखिन्छ । विभिन्न प्रकारका वेदी निर्माणको विधि वैदिक ग्रन्थहरूमा रहेको छ । चतुष्कोण, त्रिकोण, अर्धचन्द्राकार आदि वेदी निर्माणका लागि रेखागणितीय ज्ञानको वर्णन गरिएको छ ।
वेदीको नाम आकार परिमाण
वर्ग १
१. आहवनीय
२. गार्हपत्य
३. दाक्षिणाग्नि
वर्ग २
१. महावेदी अथवा सौमिक वेदी
२. सौत्रामणी वेदी
३. पैतृकी वेदी
४. प्राग्वंश
वर्ग ३
१. चतुरस्र श्येनचित्
२. वक्रपक्ष–व्यस्त–पुच्छश्येन
३. कंकचित्
४. प्रउग
५. उभयतः प्रउग
६. रथचक्रचित्
७. द्रोणचित्
८. श्मशानचित्
चतुर्भुज
वृत्त
अर्धवृत्त

समद्विबाहु
ष्कयकअभभिक त्चबउ।
,, ,, ,,
,, ,, ,,
आयत

पन्छीको आकार
पन्छीको आकार
पन्छीको आकार
त्रिभुज
समबाहु चतुर्भुज
वृत्त
दुवैको आकृति
समद्विबाहु चतुर्भुज
१ को व्याम
१ को व्याम
१ को व्याम

१७२ वर्गपद

(महावेदीको २÷३ (३२४ वर्गपद)
सौत्रामणीको १÷९
,, ,, ,,

साढे सात वर्ग पुरुष
साढे सात वर्ग पुरुष
साढे सात वर्ग पुरुष

साढे सात वर्ग पुरुष
साढे सात वर्ग पुरुष

साढे सात वर्ग पुरुष
परिधि, व्यास र पाईको मान
ऋग्वेदमा वृत्त र परिधिको व्यासको अनुपात ‘त्रित’ शब्दद्वारा दिइएको छ । यसैगरी

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here